Qu’est-ce qu’un diagramme de Lexis ? Représenter trois dimensions sur un plan.

Le diagramme de Lexis est un instrument graphique utilisé principalement par les démographes : les manuels de démographie débutent souvent par des explications sur ce type de représentation ¹ et leur insistance sur cette question incite à penser que les étudiants ont des difficultés à la comprendre.

Commençons par la présentation qui en est faite dans un manuel de référence en trois volumes édité dans les collections de l’Ined ². Elle débute par un rappel historique qui explique le nom donné à ce diagramme à la suite de sa présentation par Lexis ³, présentation modernisée par Roland Pressat dans son Analyse démographique de 1961 et qui s’est imposée. Puis vient la présentation :

« Le principe en est très simple. Il s’agit d’un système cartésien dont le premier axe mesure le temps absolu (le calendrier civil) et le second, le temps relatif (l’âge) » (p.95)

Pour bien comprendre, appliquons immédiatement ce principe d’un système cartésien à deux dimensions à des données démographiques : à titre d’exemple (non-fictif) prenons le carnet d’un quotidien à une date récente où l’on peut repérer six personnes pour lesquelles on dispose de l’année de naissance et de l’âge au décès :

A	1947	67 ans
B	1930	84 ans
C	1944	70 ans
D	1936	78 ans
E	1925	89 ans
F	1931	83 ans

En mettant l’année de naissance en abscisse et l’âge en ordonnée, on a le graphique suivant :

Graphique 1

On constate immédiatement que sur ce graphique, les coordonnées des six personnes décédées sont alignées : les données sont en effet liées par une relation linéaire très simple car si on ajoute l’année de naissance et l’âge au décès, on trouve toujours 2014, année du décès où se situe l’observation. L’oblique sur le graphique manifeste une dimension complémentaire, l’année de décès.

Pour visualiser mieux cette dimension complémentaire, ajoutons des individus fictifs décédés les deux premiers en 2010 et les deux derniers en 2020 :

G	1933	77 ans
H	1945	65 ans
I	1933	87 ans
J	1945	75 ans

Graphique 2

On a ajouté sur ce graphique des obliques qui correspondent à l’année de décès, la droite E-A précédente correspondant à l’année 2014. Il s’agit bien ici d’une troisième dimension, rendue possible sur un graphique plan par le fait de la relation linéaire entre les trois dimensions.

***

Le graphique à trois dimensions représentable dans un plan du fait de la contrainte linéaire qui  les lie est bien connu dans la littérature sous le nom de graphique triangulaire. Son utilisation la plus fréquente concerne la représentation, par un point, de pourcentages en trois catégories dont la somme fait évidemment toujours 100.

À titre d’illustration, utilisons l’enquête 1997 sur les pratiques culturelles des français ⁴ où l’on avait posé la question de savoir si un auteur était « connu » et s’il l’était, s’il était « aimé », « non aimé » ou si la personne n’avait pas d’opinion à ce sujet. Voici le graphique triangulaire de la répartition des opinions à propos de Mozart :

Graphique 3

On voit que, en 1997, Mozart est aimé par 79% des enquêtés, que 16% ne l’aiment pas et que seuls 5% ne le connaissent pas ou n’ont pas d’opinion à son sujet ⁵. On notera que la progression de Mozart vers le pôle « aime » a été forte par rapport à la précédente enquête (peut-être des suites du film Amadeus), les opposants étant du même ordre et la baisse des sans opinion correspondant à l’accroissement de son niveau d’appréciation.

On peut faire une représentation triangulaire analogue du graphique des dix personnes décédées de façon à rendre les trois dimensions équivalentes du point de vue graphique :

Graphique 4

Le graphique à trois dimensions précédent et le graphique triangulaire ci-dessus donnent strictement la même information mais la dimension « année du décès » qui semblait perturber le graphique cartésien prend dans le graphique triangulaire une dimension analogue aux autres. On peut donc dire que les diagrammes de Lexis sont des graphiques triangulaires dont une des dimensions est plus ou moins éclipsée.

Prenons un auteur, Christophe Vanderschrick, qui a beaucoup travaillé sur le diagramme de Lexis puisqu’il a fait sa thèse sur le sujet ⁶ ainsi qu’un article dans Population ⁷. Dans son article de Population, l’auteur manifeste qu’il est bien conscient que les trois coordonnées d’un diagramme de Lexis,  temps, moment de naissance et âge, « présentent la caractéristique d’être parfaitement corrélées : si deux coordonnées sont connues, il est possible d’en déduire la troisième » (p. 1241). Avec un tel principe, on attendrait que l’auteur se tourne vers le graphique triangulaire mais il n’en est rien puisqu’il ajoute que « dans ces conditions, construire un diagramme bi-dimensionné (« diagramme en abscisse et ordonnée ») revient à privilégier deux des trois coordonnées, c’est-à-dire à leur réserver un axe » (p. 1241), ce qui veut dire que la troisième dimension est occultée.

À l’origine de l’usage actuel du diagramme de Lexis se trouve L’Analyse démographique de Roland Pressat ⁸, où sont bien précisées les significations d’un graphique à deux dimensions : en abscisse sont portées les « dates du calendrier » et en ordonnée « les durées relatives » ⁹. De ce fait, la présentation standard d’un diagramme de Lexis se présente de la façon suivante :

Graphique 5

Une génération (par exemple celle née en 1989) est représentée comme une bande diagonale et ne semble pas représenter une dimension du graphique alors que dans une représentation triangulaire des mêmes données, la génération apparait bien comme une des trois dimensions. On y voit aussi que l’année et la génération ont maintenant un rôle symétrique.

 Graphique 6

On résout ainsi une difficulté de compréhension des divers types d’analyse.

Pour voir ce qu’apporte la représentation triangulaire par rapport au diagramme traditionnel, prenons à titre d’exemple un cas proposé dans un manuel d’exercices de démographie ¹⁰.

Il s’agit d’un exercice (noté N3) destiné à étudier la primo-nuptialité de plusieurs générations en Irlande. Les données de base sont les suivantes : on donne les proportions de célibataires par groupe quinquennal d’âges (pour 1 000 femmes). On suppose que ces proportions sont saisies au 1^er janvier des années indiquées.

Il est demandé d’abord de construire le diagramme de Lexis. La solution proposée par les auteurs est la suivante :

Graphique 7

L’axe horizontal, marqué comme « Date », sert à marquer les dates d’observation mais également les générations qui sont indiquées par des traits obliques.

Pour mieux comprendre la situation, prenons l’effectif le plus en haut et à droite de 157 qui correspond dans les données au groupe d’âge 50-54 ans observé l’année 1981. Pour voir à quelles générations il correspond, faisons un agrandissement en supposant des données annuelles et reportons-les sur un graphique triangulaire. On a le résultat suivant :

Graphique 8

On voit que  les générations nées de 1926 à 1930 ont de 50 à 54 ans au 1^er janvier 1981 (date marquée par un trait rouge).

Représentons, en utilisant les générations quinquennales suggérées dans le graphique d’origine, le diagramme de Lexis sous forme de graphique triangulaire.

Graphique 9

Les proportions observées sont situées sur le côté rouge du triangle, celui qui correspond au 1^er janvier de l’année.

***

Concluons : les démographes utilisent le terme de « diagramme » pour désigner leur représentation graphique des données. En utilisant ce terme plutôt que celui de « graphique », ils manifestent que le diagramme de Lexis, où une même coordonnée sert à plusieurs choses (date d’observation et génération), n’est pas un graphique où tous les éléments doivent être significatif, comme dans le graphique cartésien ou le graphique triangulaire. C’est un diagramme où les conventions d’écriture sont nombreuses comme quand l’auteur se sert d’une surface pour rendre compte d’un organigramme ou d’un raisonnement logique. En représentant le diagramme de Lexis sous forme d’un graphique triangulaire, on retrouve l’avantage d’une expression graphique standardisée.

On notera que proposer un diagramme triangulaire pour représenter trois dimensions en liaison linéaire a déjà été fait par le démographe américain Norman Ryder à propos d’une question de cohortes de mariages ¹¹.

Graphique 10

Les ébauches des coordonnées horizontales de durée sont indiquées mais non leur continuation à l’intérieur du graphique : ceci s’explique par le fait qu’il ne s’agit pas d’un graphique notant des observations mais d’un diagramme cherchant à montrer qu’il vaut mieux comparer des cohortes de mariages du point de vue de leur durée plutôt que de la date du calendrier.

Les démographes américains sont d’ailleurs réputés pour ne pas utiliser le diagramme de Lexis qui semble utilisé principalement par l’École française de démographie. Pour qu’il soit utilisé partout, il suffirait peut-être de lui retirer son aspect de diagramme avec ses règles spécifiques d’orientation et son abscisse qui exprime deux réalités différentes, et de l’inclure dans le monde des graphiques triangulaires, graphiques d’ailleurs antérieurs au diagramme de Lexis puisqu’ils avaient déjà été utilisés par d’Alembert ¹².

Annexe : comment réaliser un graphique de Lexis triangulaire

Le logiciel Trideux permet de réaliser des graphiques triangulaires : bien qu’il ait été conçu pour représenter des profils de pourcentages répartis en trois nombres dont la somme fait cent, il est facile de le détourner pour ne conserver que « quadrillage » triangulaire pour ensuite introduire dans le graphique les éléments propres au graphique de Lexis.

On utilisera plutôt la version TrideuxOri51 ou TrideuxOri52 car certaines options graphiques sont inopérantes dans la version Trideux51 ¹³. L’option « Graphique triangulaire » du menu déroulant « Tris » nécessite la présence d’un fichier de nom générique choisi par l’utilisateur et d’extension .TRG. Ce fichier texte peut être réalisé en dehors de Trideux. Il est composé de la façon suivante  (documentation en ligne) :

ligne 1 : titre général
ligne 2 : titre du pôle 1
ligne 3 : titre du pôle 2
ligne 4 : titre du pôle 3
lignes suivantes : nom en 4 caractères et trois valeurs numériques interprétables sur 5 caractères. Au moins une ligne de description d’un point est requise.

Par exemple le fichier suivant :

Titre général
Titre pôle 1
Titre pôle 2
Titre pôle 3
CNTR 33.3 33.3 33.3
POL1  90    2    8

donne le graphique suivant :

Si l’on veut ne conserver que le quadrillage, il est possible de déplacer tous les points et les intitulés en dehors du graphique en les capturant avec le clic gauche de la souris et en les déplaçant avec la souris. On supprimera la trace rouge laissée en modifiant le paramètre de la couleur du trait. Une copie d’écran et son insertion dans un logiciel graphique, même simple comme l’utilitaire « Paint » de Windows, permet d’effacer ces points et de ne conserver que le quadrillage dont on pourra modifier les intitulés et afficher tous les effectifs dans les triangles voulus.

Exemple de réalisation du graphique 6.

On part du cas précédent : il suffit pour n’avoir plus que six éléments par axe d’agir sur les flèches (à droite du graphique) « déplacements des côtés ». Les touches externes augmentent le nombre de côtés, les touches internes les réduisent. En utilisant la touche du côté horizontal, on réduit à six le nombre d’éléments. Une copie d’écran et une recopie sur Paint permettent d’ajouter ce qu’il faut pour obtenir le graphique 6 :

On peut aussi obtenir le graphique 5 en commençant par utiliser (sous « déplacements des côtés ») l’option « Réinitialisation angulaire du graphique » avec les options « Angle droit » et « 3^e coordonnée affichée ». On augmente le nombre de côtés pour pouvoir disposer d’un carré de 6 sur 6 complet :

Si on veut retrouver l’orientation du graphique 5, il suffit de faire une transformation en miroir et de supprimer ce qui est en trop. On obtient alors le résultat suivant :

que l’on modifiera avec un logiciel graphique.

1. Par ex. Léon Gani, Laurence Simmat-Durand, Démographie expliquée, Nathan, 2001 ; Catherine Rollet, Introduction à la démographie, Nathan 1995 [↩]
2. Graziella Caselli, Jacques Vallin et Guillaume Wunsch, Démographie : analyse et synthèse, INED, 2001. La présentation du diagramme de Lexis se trouve au chapitre 6 du premier volume. [↩]
3. Wilheim Lexis, La représentation graphique de la mortalité au moyen de points mortuaires, Paris, G.Masson, 1881 (reprise d’un article des Annales de Démographie internationale, 1880). [↩]
4. Olivier Donnat, Les pratiques culturelles des Français. Enquête 1997, Documentation française, 1998 [↩]
5. Graphique issu de : Philippe Cibois, “Le nouvel avenir d’un ancien : le graphique triangulaire” in Jean-Pierre Poussou & Isabelle Robin-Romero (dir.), Histoire des familles, de la démographie et des comportements en hommage à Jean-Pierre Bardet, Presses de l’Université Paris-Sorbonne, 2007, p.73-82. Texte en ligne [↩]
6. Christophe Vanderschrick, Diagramme de Lexis et cohortes : du temporel au non-temporel, Louvain-la-Neuve, Janvier 2005, en ligne. [↩]
7. Christophe Vanderschrick, « Le diagramme de Lexis revisité », Population, vol. 47, 1992, p. 1241-1262, en ligne. [↩]
8. Roland Pressat, L’Analyse démographique, Ined, 1961 [↩]
9. p.76 de l’édition de 1973 [↩]
10. Alfred Dittgen, Marlène Lamy-Festy, Travaux pratiques d’analyse démographique, Masson, 1988. [↩]
11. Norman B. Ryder, Fertility Measurement Through Cross-Sectional Surveys, Social Forces, Vol. 54, No. 1 (Sep., 1975), pp 7-35. Graphique signalé dans : Caselli Graziella, Enzo Lombardo, Graphiques et analyse démographique : quelques éléments d’histoire et d’actualité, Population 45, N°2, 1990, p. 407. [↩]
12. Philippe Cibois, “Le nouvel avenir d’un ancien : le graphique triangulaire” in Jean-Pierre Poussou & Isabelle Robin-Romero (dir.), Histoire des familles, de la démographie et des comportements en hommage à Jean-Pierre Bardet, Presses de l’Université Paris-Sorbonne, p.73-82. Texte en ligne [↩]
13. Toutes ces options sont disponibles à cette adresse [↩]

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