Visualiser les individus d’une modalité : l’ellipse médiane

Les ellipses d’inertie font maintenant partie de la panoplie des outils qui permettent de visualiser dans un plan factoriel le secteur du graphique où se trouvent les individus qui possèdent une modalité donnée. Je voudrais introduire ici un nouveau type d’ellipse qui regroupe la moitié de la population concernée et que j’appelle de ce fait ellipse médiane. Mais auparavant pour bien comprendre de quoi il s’agit, je partirai d’un exemple simple à deux dimensions utilisant l’espace ordinaire : l’exemple « cible » tel qu’il est présenté par Brigitte Le Roux et Henry Rouanet dans leur livre de la série QASS et je m’inspirerai de leur démarche¹. Cet ouvrage respecte pleinement la logique de cette collection de chez Sage de présentation d’une méthode qui consiste à partir d’exemples numériques avant de généraliser par une formule.

Entourer un nuage de points par une ellipse

Voici l’exemple « cible », il est formé de 10 points, le graphique ci-dessous donne l’origine, les axes initiaux x1, x2 et l’unité de longueur.

Comme on va utiliser les moyennes, variances et covariance, le tableau ci-dessous donne (en vue d’une présentation utilisable en enseignement) les coordonnées des dix points, leur carré, leur produit puis la somme des colonnes, leur moyenne.

Vient ensuite une disposition des lignes qui permet un calcul simple des variances et covariances (explicité en marge).

On veut pouvoir déterminer une ellipse qui recouvre une proportion donnée a priori des points. Cette ellipse, quelle que soit la proportion désirée, sera centrée sur G centre de gravité des points, elle sera orientée selon le premier axe principal du nuage et son équation dépendra des variances et covariances des points. Reprenons ces divers éléments.

G centre de gravité : il a pour valeur les moyennes de x1 et x2 soit (6,0)

Premier axe principal : pour le trouver sans formule directe (qui existe) et pour bien voir son rôle, il suffit de voir que sa propriété est qu’il maximise la variance des projections des dix points.

Examinons en premier lieu la projection des points sur l’axe vertical passant par G. Soit les 10 projections allant de m1 à m10 :

Il s’agit de mesurer la variance des distances de ces m1 à m10 à G. Comme elles correspondent aux ordonnées du graphique initial, cette variance a déjà été calculée sous la rubrique x2² et est égale à 52. On vérifiera que les projections sur l’axe vertical correspondent aussi à la variance de x1 égale à 40 car un décalage de l’origine ne modifie pas la variance.

Dans le plan, la variance totale du nuage est égale à la somme des variances soit 40 + 52 = 92 et cette somme ne variera pas si l’on prend d’autres axes inclinés mais orthogonaux. Faisons varier autour du point G un axe et calculons la valeur de la variance des projections sur cet axe en prenant un certain nombre de valeurs de l’angle formé par l’axe horizontal et l’axe de projection ².

En calculant une valeur de alpha tous les 10 degrés on a le résultat suivant :

Une variance de 40 correspond à la projection sur l’axe horizontal (alpha=0), une variance de 52 correspond à la projection sur l’axe vertical (alpha=90). Le maximum est proche pour alpha = 60 et correspond à la valeur de 63,44 ou la variance est égale à 56.

Le nuage des points est donc étiré au maximum par le premier axe principal qui forme un angle de 63,44° par rapport à l’axe horizontal et est centré sur G :

Le deuxième axe principal est orthogonal au premier et correspond au minimum de la courbe de la variance égale à 36.

Pour comprendre le principe de l’ellipse d’inertie, il faut prendre le cas unidimensionnel d’une distribution normale où l’on sait que si l’on prend environ 2 écarts-types autour de la moyenne, on a 95% de la distribution ; à 1 écart-type on en a à peu près les deux tiers. Dans un espace à deux dimensions, une ellipse a 2 écarts-types sur chaque axe (mais les écarts-types ne sont pas les mêmes sur chaque axe) regroupe 86% de la population (et 39% à 1 écart-type). L’ellipse à deux écarts-types est appelée ellipse de concentration (et à un écart-type, ellipse indicatrice).

Voici l’ellipse de concentration dans le cas de l’exemple cible : la variance pour l’axe principal est de 56 (36 pour le 2^e). Les demis-axes de l’ellipse sont deux fois la racine carrée de la variance.

On voit qu’empiriquement l’ellipse de concentration comprend 9 points sur les 10 (théorique =86%) et qu’une ellipse passant par les demis-axe (ellipse indicatrice) en comprendrait quatre sur dix (théorique = 39%).

L’ellipse de concentration devant prendre la presque totalité des points est de ce fait vaste et si on s’intéresse, non plus à la totalité des points comme ici, mais par exemple à une modalité d’une enquête, on souhaiterait une ellipse plus sélective, plus spécifique. On peut prendre l’ellipse indicatrice mais la valeur théorique de 39% n’est pas très parlante. De ce fait je propose de prendre l’ellipse qui regroupe la moitié des individus pour une modalité donnée et que je nomme de ce fait ellipse médiane. Le coefficient multiplicateur de l’écart-type va se situer entre 1 (indicatrice) et 2 (concentration) : il est égal à 1,177. Pour un coefficient kappa recherché et pour une proportion p donnée, il est obtenu ³ par la formule suivante : kappa = √(-2 ln(1-p) ).

Dans le cas d’une analyse factorielle, on sélectionne les individus qui ont une modalité donnée, on calcule les variances et covariances de leurs coordonnées factorielles et l’on trace ainsi une ou des ellipses homothétiques sur le plan factoriel.

Exemple d’application

Les affiliations de l’ouvrier français de 1970 ⁴ constituent un exemple intéressant que j’ai souvent utilisé⁵.

L’enquête comporte 1116 individus et on en extrait quatre questions d’affiliations : parti et syndicat dont on se sent le plus proche, vote syndical et vote politique, soit 36 modalités dont quatre non-réponses (une pour chaque question) traitées en éléments supplémentaires.

Soit le premier plan factoriel :

Le graphique est triangulaire avec le pôle de gauche communiste (CGT, vote CGT, PCF, Duclos) et les pôles de la droite (Pompidou, UNR) et de la gauche non communiste (Defferre, Krivine). Les ellipses médianes utilisées ici manifestent bien les trois types de répondants. Ce qui est beaucoup moins net dans le même graphique avec les ellipses de concentrations où les ellipses se superposent au centre.

Prenons la modalité « Gauche » (« se sent proche de la gauche » sans autre indication) : on peut se demander ce que signifie sa position intermédiaire entre la gauche communiste et la droite. L’ellipse va nous permettre de mieux comprendre :

Le grand axe de l’ellipse médiane de Gauche est tourné à la fois vers la gauche communiste et la droite : si on revient aux individus qui prennent cette modalité, on s’aperçoit qu’un quart a pris ses autres modalités à droite du graphique et un quart dans la gauche communiste, ce qui explique que ce point est intermédiaire, tiré entre les deux pôles, ce que visualise l’ellipse.

Comptage des individus

On a relevé sur le graphique (par leur numéro) les individus qui se trouvaient pour toutes les modalités précédentes à l’intérieur ou à l’extérieur de chacune des deux ellipses.

Si l’on ne prend pas en compte le cas des électeurs de Krivine du fait de leur faible nombre, on constate sur ce tableau trié par ordre décroissant de pourcentage de l’ellipse médiane que la valeur théorique de 50% est nettement dépassée dans le cas des modalités qui forment des types-idéaux bien marqués de la droite ou de la gauche communiste (contributions supérieures à la moyenne). Cette conclusion, pour toute empirique qu’elle soit, est très rassurante pour l’usage de l’ellipse médiane qui regroupe les individus des modalités à contributions supérieures à la moyenne.

Comparaison avec le graphe des attractions

Les résultats obtenus par le biais des ellipses médianes peuvent être comparés avec une méthode post-factorielle qui utilise le graphique factoriel simplement pour visualiser les attractions entre modalités par le biais du Pourcentage de l’Écart Maximum ou PEM (Philippe Cibois, Le PEM, pourcentage de l’écart maximum : un indice de liaison entre modalités d’un tableau de contingence, Bulletin de méthodologie sociologique, n°40, 1993, p.43-63.)). Si on prend toutes les attractions supérieures à 10% pour tous les points évoqués précédemment, on a le graphique suivant :

On voit à nouveau l’homogénéité du type gauche communiste, le pôle droite relié aux non affiliés du centre du graphique, la gauche non communiste en haut du 2e facteur. Quant au point « gauche » on voit que sa spécificité est que ses autres réponses appartiennent à la gauche communiste mais aussi, proche du pôle des non affiliés, sont en lien avec la non réponse au vote politique. Remarquons aussi que la proximité entre « gauche » et « CFTC » ne vient pas d’une liaison entre les deux modalités mais du fait qu’elles sont intermédiaires toutes les deux entre gauche communiste et droite.

Implémentation

La version 5.4 de TrideuxOri permet de visualiser individuellement ou ensemble les trois types d’ellipses ⁶. Les étapes de l’analyse factorielle sont les suivantes :

Pour utiliser des ellipses d’inertie, il faut intervenir aux étapes 1, 4 et 5.

Étape 1 – Création des modalités

Il faut, après le choix des questions actives et supplémentaires, cocher « ajouter les individus ». Si l’on veut faire apparaitre des intitulés de ces individus, on doit cocher la case « il y a un numéro d’individu existant dans les données ». Si on coche cette case apparait alors la demande de la position puis de la largeur du numéro.

Étape 3 – Calcul des facteurs :

On doit choisir le type d’édition « étendue » et cocher la case « utiliser le tableau en codage logique ».

Étape 4 – Graphique factoriel :

Pour choisir une modalité, on pointe le curseur sur une modalité ; avec le clic droit on la sélectionne et elle apparait en vert. Les ellipses qui ont été cochées apparaissent alors : on notera l’apparition de PMCGT qui correspond au point moyen des individus, c’est à dire à leur centre de gravité.

La version TrideuxOri54 est disponible ici.

1. Brigitte Le Roux et Henry Rouanet, Multiple Correspondence Analysis, Sage, 2010, Series Quantitative Applications in the Social Sciences 153. The Target Example p. 17 [↩]
2. la variance pour un angle donné alpha est égale à la somme de : variance de x1 x cos²(alpha) + variance de x2 x sin²(alpha) + 2 x covariance x1x2 x sin(alpha) x cos(alpha)  [↩]
3. Site de Paul Boersma and David Weenink, Phonetic Sciences, University of Amsterdam, consulté le 23/08/2016 [↩]
4. Gérard Adam, Frédéric Bon, Jean Capdevielle, René Mouriaux, L’ouvrier français en 1970, Paris, Presses de la FNSP, 1970 [↩]
5. Philippe Cibois, Les méthodes d’analyse d’enquêtes, 2007, Presses Universitaires de France, Paris, coll. “Que sais-je ?”, n°3782, nouvelle version disponible en ligne et en librairie à ENS Éditions [↩]
6. la programmation est inspirée du module R conc.ellipse de GDAtools dû à Nicolas Robette [↩]

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