Comparer visuellement les phénomènes évolutifs. Comment expliquer l’échelle logarithmique

Un phénomène évolutif retient particulièrement l’attention en fin 2020 : il s’agit de l’évolution du Covid 19 dont on trouve des représentations graphiques dans beaucoup de médias. Je vais tenter de montrer que les représentations graphiques, loin d’être purement informatives peuvent aider à la compréhension des phénomènes ¹.

Voici deux courbes qui se ressemblent beaucoup : à gauche tirée de La Repubblica, le grand quotidien du matin italien du 15 octobre 2020 qui met à sa une le graphique des testés positifs au covid dont la croissance est alarmante. A droite, un article de la revue de l’Ined Population, datant de 1975 qui à l’intérieur de la revue propose un article de Jean-Claude Chesnais sur l’évolution des bacheliers de 1900 à 1975. Quarante-cinq ans séparent ces deux graphiques et on y retrouve la même croissance que l’on qualifie souvent d’exponentielle. Le parallélisme des deux graphiques pose question : pourquoi la croissance de deux phénomènes aussi différents est-elle la même ?

Pour éclairer le problème, prenons un autre phénomène : il s’agit de l’évolution d’un indice financier, le Nasdaq (composite) créé en 1971 avec la base 100. Examinons d’abord une première période de son évolution, de sa création à l’an 2000.

Ce qui est frappant c’est cette courbe qui démarre doucement puis ensuite s’accélère. C’est comme une fusée qui décolle, tout d’abord elle s’arrache du sol, monte lentement puis s’accélère et se perd dans le ciel.

Mais nous nous sommes arrêtés en 2000 où l’indice atteint la valeur 4000 au moment de la bulle Internet qui va crever et faire redescendre l’indice à 2500 l’année suivante. Suivons maintenant son évolution jusqu’en 2019 :

On voit maintenant l’effet de la bulle Internet, puis de celui la crise des subprimes en 2009 : la courbe change d’allure avec des hauts et des bas mais conserve finalement dans les années récentes son style de croissance exponentielle jusqu’à la valeur de 6600 en 2019.

Si nous essayons de faire un graphique de croissance régulière de l’indice il faut prendre un coefficient multiplicateur de 9,14% pour arriver au même résultat que l’indice réel. Comparons cette croissance réelle et le modèle régularisé :

Le modèle à 9% conduit bien au même résultat que l’original, ce qui est normal, mais il conserve toujours son allure de croissance exponentielle, de fusée qui décolle. Livrons-nous maintenant à quelques expériences avec une croissance régulière.

Une expérience

Prenons donc une croissance, qui partant de l’unité augmente à chaque période de 20%, c’est-à-dire que le résultat précédent est multiplié par 1,2 ce qui donne la suite suivante 1 1,20 1,44 1,73 2,07 etc. Faisons l’opération 33 fois, puis allons jusqu’à 43, puis 53 et comparons les résultats obtenus.

A l’aplomb du maximum, les résultats ne sont pas les mêmes en ordonnée mais on retrouve toujours la croissance exponentielle : on a toujours le même aspect, quels que soient les chiffres. La croissance est exponentielle puisque ce qui croit, c’est le multiplicateur que l’on peut mettre en exposant 1,2³³ par exemple.

Allons plus loin, supposons une modification de la croissance qui par exemple passe du multiplicateur 1,2 à 1,4 après l’étape 33. Voici le résultat :

Par rapport à la courbe précédente, la forme de la courbe change à peine, seules sont modifiées les valeurs en abscisse.

Ces quelques expériences manifestent clairement que ces représentations masquent le phénomène fondamental, la régularité de l’exposant et ses modifications. On souhaiterait que cette régularité soit visible graphiquement et que s’il y a une modification de l’exposant, la modification soit visible également.

Pour arriver à ce résultat souhaité, « supposons le problème résolu », pour reprendre une formule chère aux mathématiciens. On suppose donc que puisqu’il y a une croissance régulière, cette croissance est représentée par une droite. Soit toujours les mêmes chiffres avec une croissance de 20% et donc un facteur multiplicatif de 1,2. Soit les valeurs de 1,2^N pour N allant de 0 à 13.

Ce que l’on remarque, c’est que les valeurs obtenues en abscisse respectent bien la croissance exponentielle, partant de 1, puis s’élevant doucement : 1,2 ; 1,44 ; 1 ,73 ; 2,07 soit quatre intervalles entre 1 et 2, tandis qu’en haut, il y a un seul intervalle entre 9 et 10 (8,92 ; 10,70).

On peut maintenant construire une échelle différente de l’échelle standard en plaçant toutes les valeurs rondes de 1 à 10 et l’on voit une échelle irrégulière mais tout à fait reconnaissable, l’échelle dite logarithmique. Ce mot ne fait que redire le mode de calcul. Logarithme est construit à partir des deux mots grecs logos et arithmos. Logos : on reconnait le mot raison en grec, ratio en latin. Raison est pris au vieux sens mathématique d’exposant, d’où l’usage « croissance exponentielle de raison 1,2 ». Arithmos, c’est le nombre (comme dans arithmétique), la valeur. Le logarithme, c’est la raison (de la valeur) du nombre ².

Prendre une échelle logarithmique comme celle mise à gauche des valeurs obtenues qui reprend les nombres ronds, c’est donc prendre une échelle déformée par rapport à l’échelle standard mais qui visualise l’exposant du nombre et non le nombre. Si l’exposant ne change pas de valeur, l’évolution sera représentée par une droite.

Cela permet de résoudre le problème évoqué plus haut du changement invisible de l’exposant en cours de croissance. Reprenons des évolutions en représentation standard et en représentation logarithmique :

Le changement de la croissance à partir de l’étape 34 (facteur multiplicatif passant de 1,2 à 1,4) invisible en représentation standard devient visible en représentation logarithmique.

Muni de cette échelle logarithmique, revenons au Nasdaq, à gauche l’échelle standard, à droite l’échelle logarithmique :

On voit bien la chute de l’indice au tout début de 1974 à 1978 avant de revenir à 100, la bulle Internet, la crise des subprimes. En noir la croissance régulière à 9,14%, droite qui synthétise bien une croissance assez régulière au contraire de la même courbe dans la figure de gauche.

Étudions maintenant la courbe des bacheliers issue de Population de 1975 :

Ce que manifeste l’échelle logarithmique c’est la différence très forte entre l’évolution des garçons et celle des filles. Alors que les deux évolutions semblaient très proches avec une échelle standard, le graphique de droite montre bien la croissance forte des filles qui permet le rattrapage.

Pour comprendre le creux de 1935, bien marqué à droite et faible pour les filles à gauche, il faut examiner aussi la population en âge de passer le bac. C’est ce qui est fait dans le graphique suivant qui va de 1902, création du bac dans sa version avec des séries, jusqu’à 2019.

Ici encore la représentation standard (à gauche) écrase les débuts de la courbe jusqu’au bac de 1968 dont on sait qu’il a été peu sélectif, le creux de 1969 étant dû pour l’essentiel à l’absence de redoublants. En représentation logarithmique (à droite) on repère la baisse de la population en âge de passer le bac en 1935 suite au déficit de naissances de la première guerre. On voit aussi que les sessions du bac de 1939 et 1944 ont été peu sélectives pour des causes opposées, la défaite puis la Libération.  L’époque de plus forte croissance sur 10 ans de 1958 à 1968 correspond à une période de forte croissance de la demande d’éducation et à la croissance démographique qui a suivi l’année 1941 (boom des naissances d’après-guerre).

Les évènements de 1968 voient resurgir le vieux mythe des diplômés chômeurs qui, s’il casse la croissance des garçons, n’a pas d’effet sur celle des filles. La croissance repart en 1985 quand Chevènement fixe l’objectif d’atteindre 80% d’une génération au niveau du bac. Cette croissance a été forte pendant dix ans, puis a marqué un palier surtout chez les filles en 2012 année où les proportions sont les mêmes. Depuis cette date, la croissance a repris jusqu’en 2019.

Ces derniers points sont évidemment peu visibles sur la figure de gauche où la courbe de l’ensemble semble croitre plus vite que les éléments dont elle est la somme.

Représentation de l’évolution du Covid

Le Monde publie régulièrement (figures de gauche) le nombre de personnes hospitalisées et en réanimation. La représentation standard masque le parallélisme des deux courbes mieux visible à droite avec l’échelle logarithmique. Dans le graphique du 6 novembre on voit à droite s’ébaucher le palier de la deuxième vague qui est totalement invisible dans la représentation de gauche. Ce parallélisme des deux courbes montre qu’il s’agit de deux indicateurs pertinents de l’évolution du Covid.  La représentation logarithmique va nous permettre de mieux comprendre comment évoluent d’autres indicateurs et en particulier le comptage des décès.

Soit le total des décès quotidiens en France (en bleu) et en Italie (en vert) pour la première vague. L’Italie nous a précédé et la France l’a rattrapée. La population totale est de 67 millions pour la France, de 60 millions pour l’Italie. On constate dans les deux pays la grande irrégularité des courbes. Pour cette première vague la croissance est rapide car personne n’est protégé, il n’y a pas de masques ni de distanciation. La décroissance est lente après le premier confinement (17 mars – 11 mai).

On entre dans les difficultés statistiques : le total en France est constitué des décès à l’hôpital et de ceux en Ehpad qui sont très irréguliers dans leur transmission qui souvent n’est pas quotidienne et vient créer artificiellement des pics (qui sont utilisés par les autorités pour annoncer de mauvaises nouvelles de couvre-feu ou de confinement).

Les décès à l’hôpital sont très réguliers dans leur irrégularité : on constate que tous les dimanches (D) une chute des décès qui correspond à un sous-enregistrement. C’est valable aussi pour les jours fériés. Évidemment, le lendemain on a un pic. Pour suivre au mieux la tendance, il faut lisser les données sur une semaine avec une moyenne mobile.

On peut maintenant visualiser tous les indicateurs et les comparer.

Trois indicateurs fonctionnent en parallèle : les hospitalisations (orange), les malades en réanimation (bleu), les décès (hôpital + Ehpad) en vert avec une moyenne mobile en rouge. Bien qu’ils soient approximativement dans un rapport 1, 10 et 100, ces indicateurs manifestent l’évolution sur l’année 2020 du Covid indépendamment des variations hebdomadaires si l’on considère les moyennes mobiles.

Le nombre des testés positifs est décalé par rapport aux autres indicateurs : il précède leur montée et anticipe leur décroissance.

Ce graphique est en attente du nombre de vaccinations effectuées qui, espérons-le, assurera la décrue des autres indicateurs. On pourra voir la suite sur les dossiers d’archives de https://ciboispagesperso.fr/

En conclusion, même si l’échelle logarithmique est difficile à faire comprendre à un public ordinaire, elle est indispensable dès que les variations deviennent importantes. Pour la faire socialement accepter plus facilement, il est peut-être judicieux de ne pas utiliser d’échelle secondaire mais de ne garder que l’échelle principale des puissances de dix ³.

– février 2021

Comme on peut le voir ci-dessous, la nouveauté est l’apparition de la courbe des primo-vaccinés (en noir).

Cette courbe a une curieuse allure : elle semble débuter avec une forte croissance puis se ralentir. Ceci vient de la représentation par une échelle logarithmique où une droite représente une progression constante, une augmentation régulière de x% ce qui n’est pas le cas ici.

Regardons l’évolution du cumul des primo-vaccinés sur une échelle ordinaire :

On voit immédiatement que la progression est régulière au sens arithmétique du terme et que le cumul peut être noté par un ajustement linéaire : on peut voir qu’en moyenne le cumul augmente de 54 000 doses par jour. L’augmentation est régulière et se voit comme telle sur un graphique ordinaire. Avec une échelle logarithmique, l’impression est tout autre :

c’est celle du graphique précédent des indicateurs du covid : la progression étant de 54000 doses par jour, il faudra 184 jours pour arriver à vacciner 10 millions de personnes soit vers le début du mois de juillet (si la cadence est la même).

On notera que sur le graphique des indicateurs du covid, pour pouvoir situer dans le graphique l’évolution des vaccinés, on travaille en milliers d’unité. L’échelle logarithmique n’est pas adaptée et il faut s’intéresser à la valeur obtenue, non à l’évolution graphique qui relèverait plutôt d’une échelle ordinaire.

– novembre 2021

Les primo-vaccinés n’évoluant plus que marginalement à un fort taux de couverture, la courbe correspondante a été supprimée du graphique.

– juillet 2023

Les données fournies quotidiennement par le Ministère ne l’ont été que jusqu’au 30 juin 2023. Il est donc maintenant possible de visualiser l’ensemble des indicateurs disponibles du 13 mars 2020 au 30 juin 2023. On peut voir sur ce graphique les neuf vagues référencées (dont les trois premières ont entrainé un confinement) et une dixième qui est passée inaperçue.

Cliquer sur l’image et l’ouvrir dans un nouvel onglet pour l’agrandir

Ce qu’il faut retenir de cette visualisation est que si on marque d’un trait rouge le pic des testés positifs, on constate que les autres sommets des courbes (hospitalisations, réanimations et décès par jour), sont décalés vers la droite d’une dizaine de jours en moyenne, ce qui renforce la force prédictive des testés positifs.

Sources : https://www.gouvernement.fr/info-coronavirus/carte-et-donnees?ref=nl-rep-a-epr

Bibliographie utilisée :

1. Je me situe ainsi dans la perspective des travaux de Jacques Bertin dont La Graphique et le traitement graphique de l’information, 1977 et nouvelle édition 2017 [↩]
2. Georges Guilbaud, Leçons d’à peu près, Christian Bourgois, 1985 [↩]
3. Ce texte est issu du séminaire que j’ai fait sur le choix d’une bonne représentation graphique des données du Covid au séminaire Quantitativisme réflexif (ENS Paris Saclay) du 13 nov 2020 [↩]

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